0,82 Mb. страница3/3Дата конвертации30.09.2011Размер0,82 Mb.Тип Смотрите также: 3 ^ Ответ: x = 832, у = 166.Задача 25. Докажите, что система уравнений не имеет решений в целых числах. Решение. Предположим, что система разрешима. Из второго уравнения z2=2у2+1, то есть z2 нечётноё число и z - нечётное, значит z=2m+1, m Z. Тогда y2= 2m2+2m , значит, y2 - чётное число и у чётное, y = 2n, n Z. Из первого уравнения: x2=8n3+7, т. е. x2 - нечётное число и x - нечётное число, х=2k+1, k Z. Подставим значения x и y в первое уравнение, получим 2(k2 + k 2n3) = 3, что невозможно, так как левая часть делится на 2, а правая нет. Значит, наше предположение неверно, т.е. система не имеет решений в целых числах.Задача 26 (из «Арифметики» Диофанта) Для числа 13 = 22 + 32 найти два других, сумма квадратов которых равна 13. Решение. Приведём решение самого Диофанта. Он полагает первое число (обозначим его через ^ А) равным х+2, а второе число B равным 2х 3, указывая, что коэффициент перед x можно взять и другой. Решая уравнение (x + 2)2 + (2х 3)2 = 13, Диофант находит x = 1,6, откуда А = 3,6, В = 0,2. Воспользуемся указанием Диофанта и возьмём произвольный коэффициент перед x в выражении для В. Пусть снова А = x + 2, а В= kx 3, тогда из уравнения (x + 2)2 + (kx 3)2 = 13 получаем х=2(3k-2):(k2 + 1). Отсюда A=2(k2+3k 1):(k2+1), B=(3k2-4k-3):(k2+1). Теперь становятся понятными рассуждения Диофанта. Он вводит очень удобную подстановку A=х+2, В=2х 3, которая с учётом условия 22+32=13 позволяет понизить степень квадратного уравнения. Можно было бы с тем же успехом в качестве B взять (2х+3) или ещё проще (x a 3), но тогда получаются отрицательные значения для B, чего Диофант не допускал. Очевидно k = 2 наименьшее натуральное число, при котором A и B положительны. И хотя Диофант приводит решение задачи в конкретных числах, чувствуется, что он владеет общим методом. Задача 27 (из древнего китайского сборника) Найти число, которое при делении на 3 даёт остаток 2 , при делении на 5 остаток 3, а при делении на 7 остаток 2. Решение. Рассмотрим решение этой задачи китайским математиком Сунь-цзы (III или IV вв.): «При делении на 3 остаток есть 2. Поэтому возьмём 140. При делении на 5 остаток есть 3, поэтому возьмём 63. При делении на 7 остаток есть 2, поэтому возьмём 30. Сложив их вместе, получим 233. Из этого вычтем 210 и получим ответ». Разберём решение Сунь-цзы. Сначала он подбирает число 140, кратное 5 и 7, которое при делении на 3 даёт остаток 2. Конечно, это не наименьшее натуральное число с такими свойствами: можно было бы взять число 35. Но это не столь важно для решения задачи. Затем берётся число 63, кратное 3 и 7, дающее при делении на 5 остаток 3. Аналогично находится число 30. Очевидно, для числа 233 = 140 +63+ 30 выполняются все условия задачи, а потому они выполняются для числа вида n = 105l + 233. В свою очередь 233=2g105 + 23, поэтому все натуральные решения можно записать формулой n = 105k + 23, где k = 0, 1, . При k = 0 из неё получаем наименьшее натуральное решение, равное 23. Задача 28 (из «Арифметики» Диофанта). Найти два числа, произведение которых, сложенное с каждым из данных чисел, составит куб некоторого числа. Решение. Рассмотрим решение самого Диофанта. Обозначим первое число в виде произведения x на куб некоторого числа, например на 23 = 8, то есть первое число будет 8x. Положим второе число равным x2 - 1. Ясно, что одно из условий задачи будет выполнено: произведение искомых чисел, сложенное с первым, равняется кубу некоторого числа. В самом деле, проверяя это, получим: 8хg (x2 - 1) + 8х = 8x3. Далее надо, чтобы выполнялось и другое условие, то есть, чтобы произведение искомых чисел, сложенное со вторым, равнялось также кубу некоторого числа. Для этого требуется, чтобы 8xg(x2 - 1) + x2 - 1 было кубом некоторого числа. Полагая, что куб этого числа равняется (2х 1)3, мы получим уравнение, из которого можно найти x: 8х g (x2 - 1) + x2 - 1 = (2x - 1)3, откуда: x= 14/13, следовательно, первое число будет: 8g14/13 = 112/13, а второе число будет равно: (14/13)2 1= 196/169 1= 27/169. Проверьте, удовлетворяют ли найденные числа условию задачи.Задача 29. После кораблекрушения. Пять моряков высадились на остров и к вечеру собрали кучу кокосовых орехов. Дележ отложили на утро. Один из них, проснувшись ночью, пересчитал добычу, угостил одним орехом мартышку, а из остальных орехов взял себе точно 1/5 часть, после чего вновь лег спать и быстро уснул. За ночь так же поступили один за другим и остальные моряки; при этом каждый не знал о действиях своих предшественников. Наутро они поделили оставшиеся орехи поровну, но для мартышки в этот раз лишнего ореха не осталось. Сколько орехов собрали моряки?Решение. Обозначим искомо
Элективный курс Сказки Шехерезады и уравнения Диофанта Балашов 2009 Содержание 1 чел. помогло.
Ответ: x = 832, у = 166 - Элективный курс Сказки Шехерезады и уравнения Диофанта Балашов 2009 Содержание
Комментариев нет:
Отправить комментарий